Black & Scholes

Danilo Coscioni 1

Série: Curso sobre Derivativos, Mercado Futuro e Mercado de Opções: O Modelo Black & Sholes para calcular o preço das opções.

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O Modelo Black & Scholes

O modelo de Black & Scholes é de longe o mais utilizado no mercado, principalmente pela simplicidade e facilidade com que pode ser implementado, até mesmo em uma calculadora HP.

Uma forma intuitiva de se compreender o funcionamento do modelo de Black & Scholes pode ser o preço de uma opção de compra (call), por exemplo, pode ser visto como uma esperança matemática, onde N(d1) é a probabilidade do preço do ativo chegar ao vencimento acima do preço de exercício ( X), e N(d2) é a probabilidade do preço do ativo cair abaixo do atual preço de mercado ( S). N(d1) é a probabilidade de um ganho ilimitado, caso o preço do ativo suba, e N(d2), de uma perda limitada, caso caia. A soma dessas duas probabilidades é que dará o valor no tempo da opção.

No momento do vencimento, N(d1) e N(d2) serão ambas iguais a 1, caso a opção termine em exercício, ou iguais a zero, caso “vire pó”. Nesse caso o preço da opção de compra será inteiramente o do valor intrínseco ( max [ S- X,0 ]), e o valor no tempo terá sido totalmente corroído.

A formula de Black & Scholes para o preço de uma call é a seguinte:



Destacamos que de todos os parâmetros que determinam o preço de uma opção, a volatilidade é o que representa maiores problemas. Todas as outras variáveis são dadas (preço de exercício, preço a vista, tempo até o vencimento), ou podem facilmente ser estimadas (dividendos esperados, taxa de juros sem risco) a partir de algumas observações. Já a volatilidade, representa maiores problemas, pois não é uma variável diretamente observável. Isso implica que se todos os outros parâmetros forem vistos da mesma maneira pelos diversos agentes do mercado, o que os fará ter diferentes expectativas de preço para a opção serão as diferentes formas de enxergarem esse parâmetro de volatilidade. Várias abordagens podem ser utilizadas na sua estimação. Por ora, basta ficar a noção de que este é o parâmetro mais crítico na etapa de precificação, e que a melhor estimativa da “verdadeira” volatilidade, dará a melhor estimativa de preço para a opção, permitindo maior aproximação do preço ajustado, e portanto, melhores possibilidades na identificação das oportunidades de lucro no mercado.

Neste tópico serão tratados os instrumentais teóricos utilizados para avaliar a sensibilidade dos preços dos contratos de opções as diversas variáveis que influenciam seus prêmios. São as sensibilidades dos preços das opções, ou os chamados “gregas“.

Trata-se exclusivamente de medidas de curto prazo que podem ser utilizadas para controlar a exposição das posições financeiras a vários tipos de risco*, ou de instrumentos semelhantes ao painel de controle de uma aeronave, que dariam ao piloto condições de conduzir o avião em situações meteorológicas adversas, quando o contato visual não é possível. Nessa linha nenhum piloto que se preze, mesmo com tempo bom, deixaria de olhar pela janela ao pilotar, até mesmo porque alguns instrumentos podem falhar. Não é demais lembrar que em aviação, o real vôo cego, é aquele onde os instrumentos da cabine deixam de funcionar, e não é aquele em que se tem que aproximar da pista de pouso sem contato visual.

* Risco de mudança na taxa de juro, na volatilidade do ativo, ou de alta ou de baixa no preço do ativo, entre outros.

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