As Gregas do Modelo Black-Scholes

Delta

O delta de uma opção mede a sensibilidade de seu preço em relação ao preço do ativo objeto do contrato, e pode ser entendido como um indicativo da exposição (risco) da opção as oscilações no preço deste ativo no mercado a vista. 0 delta costuma ser apresentado em termos monetários, e mostra qual deverá ser, em reais, a variação do preço da opção (ou de uma posição), caso ocorra uma variação de R$ 1,00 no preço do ativo. O delta será uma medida tanto mais acurada de variação no preço da opção, quanta menor for a variação do preço do ativo objeto do contrato.

O delta pode ser calculado para qualquer modelo de precificação, caso se necessite trabalhar com opções americanas, ou exóticas, que exigem modelos mais sofisticados.

Gama

O gama é a sensibilidade do delta da opção em relação ao preço do ativo objeto do contrato. Trata-se de uma medida de risco, a partir do momento em que posições com elevados gamas, apesar de delta-neutras (imunes a pequenas mudanças de preço), podem rapidamente apresentar grandes lucros, ou grandes perdas, em resposta a repentinas alterações no mercado a vista do ativo objeto da opção.

Costuma-se associar ao gama o risco de uma mudança repentina na volatilidade instantânea ( actual volatility™) do ativo objeto, e ao vega* um erro na previsão (ou estimação) da volatilidade futura o- esperada. do ativo (volatilidade implícita), o que pode ser melhor aprofundado em TompKins (1994).

Formalmente, podemos definir o gama como a segunda derivada do preço da opção, dada pelo modelo adotado, em relação ao preço do ativo objeto do contrato.

Para uma opção de compra, no modelo de Black & Scholes, o gama fica definido como: a segunda derivada do preço da opção, dada pelo modelo adotado, em relação ao preço do ativo objeto do contrato.

Para uma opção de compra, no modelo de Black & Scholes, o gama fica definido como: quanta maior o gama, mais o delta ira mudar quando o preço do ativo objeto muda. Intuitivamente (que também pode ser observado pela formula) o gama varia conforme o quanto se está próximo do dia de exercício e do preço de exercício, caminhando para o infinito quando se aproxima o vencimento, e quando a opção está no dinheiro.

Ao observarmos o gama de várias opções de uma série, podemos observar o efeito da passagem do tempo e da mudança do preço do ativo no mercado à vista no valor do gama de uma opção de compra. Pode-se concluir que o delta de qualquer posição comprada** caminhara sempre na mesma direção do movimento do preço do ativo objeto do contrato, pois seu gama será positivo. Isso significa que, no caso de uma opção de compra, por exemplo, uma movimentação favorável no preço do ativo (alta), aumentara o delta da posição, favorecendo ainda mais o detentor da posição, quando o preço sobe; no caso de uma baixa (desfavorável), o delta diminuirá, reduzindo a exposição do detentor da posição a oscilação dos preços. No entanto, o reverso é absolutamente verdadeiro e perigoso para os detentores de posições vendidas, que possuem gamas negativos, e que potencializam os efeitos das oscilações adversas no mercado do ativo objeto no preço da opção.

Outro fator muito interessante do gama, é que ele pode ser encarado como uma medida do tamanho do risco*** em que incorre a posição. Imaginemos duas posições que sejam delta-neutras****. Ambas estarão imunes ao efeito de pequenas alterações no mercado a vista do ativo objeto. Mas que se pode dizer das grandes oscilações?

O gama, nesse caso é a medida adequada para ajustar duas posições diferentes para o mesmo risco, a fim de que possamos verificar a melhor apenas através da comparação dos retornos potenciais. Não é possível comparar retornos de posições que possuam diferentes níveis de risco. Detalhando um pouco mais o procedimento, suponha que a existência de diversas estratégias de investimento bastante diferentes e incompatíveis entre si, resultando na decisão de tomada de posições também muito diferentes. Como escolher a melhor dentre as alternativas apresentadas? Através das medidas de sensibilidades vistas até aqui, seria possível escolher a melhor considerando a seguinte regra de bolso:
– Ajuste todas as posições para que se tornem delta-neutras. Provavelmente, em termos de valor, as posições ficarão bastante diferentes entre si, dependendo do parâmetro que se optou por fixar arbitrariamente no ajuste de neutralidade para o delta*****.

– Para poder compará-las, devem-se ajustá-las todas para o mesmo gama. Isto pode ser feito através da fixação do gama total que as posições deverão possuir apos o ajuste. Sabendo-se que este é o somatório dos gamas de cada instrumento que compõe a posição, basta que se ajuste o numero de contratos de cada instrumento na mesma proporção do gama fixado para o gama total que detinha a posição. O resultado total de cada posição será o gama fixado arbitrariamente******.
– Apos fixado o gama, é conveniente se verificar o valor que atingiram, em media, as posições. Caso esteja muito abaixo, ou muito acima do desejado, pode ser mais preciso fixar-se o valor de uma das posições, e utilizar seu gama resultante para redefinir as demais. Em outras palavras, fixar-se um novo gama inicial mais compatível com o volume de investimentos que se esteja disposto a fazer.
– Nesse momento, as posições já podem ser comparadas: todas são delta-neutras e possuem o mesmo nível de risco, podendo ser colocadas num mesmo gráfico de perfil de lucros, contra o preço do ativo objeto das posições. Colocando num gráfico, pode-se agora verificar qual é a posição que possui sua curva de lucros superior as demais. Essa será a de maior retorno.
– É conveniente não esquecer que este (maior retorno em relação ao mesmo risco) não é o único fator a considerar quando se lida com o mercado de opções. Por exemplo, não é porque o retorno é maior que se deve apostar numa estratégia baixista, quando todo mercado apresenta tendência de alta. Nem tampouco incorrer em posições caras (comprar opções acima do preço justo, ou vender abaixo) pois parte deste retorno aparentemente superior, deverá ser corroído quando as opções retornarem ao seu preço ajustado. Observar, portanto, não somente o nível dos lucros oferecidos por uma posição superior, mas também o perfil desses lucros.

Vega

O vega mede a sensibilidade do preço da opção as variações na volatilidade implícita do ativo objeto no mercado à vista. Essa volatilidade deveria refletir a variabilidade que o mercado espera nos retornos dos ativos ao longo da vida da opção, e é essa sensibilidade que o vega traduzira. O vega normalmente é padronizado no mercado para refletir a variação no preço da opção dada uma alteração de 1% (dai o coeficiente 1 / 100) na volatilidade implícita pelo mercado de opções. Em termos formais, a partir do modelo de Black & Scholes, o vega fica:

O vega em função do preço do ativo objeto e do tempo até o exercício, o preço da opção é tanto mais sensível à volatilidade utilizada como parâmetro na precificação, quanta mais próxima estiver à opção do dinheiro, e quanto mais tempo restar até o vencimento.

O vega também pode ser uma boa medida do tamanho do erro em que se está sujeito a incorrer ao alimentar o modelo de precificação com uma estimativa de volatilidade imprecisa. Pode-se, por exemplo, construir um intervalo de variação do preço da opção para uma volatilidade, digamos 20% acima e 20% abaixo da estimada, verificando o impacto causado no premio através do vega, e se, por exemplo, a viabilidade de uma determinada operação se manteria a despeito da incerteza na estimativa que se tenha feito da volatilidade

Theta

O Theta mede a sensibilidade do preço da opção a passagem do tempo. É uma boa medida do que se costuma chamar de time decay: a queda no premio de uma opção dada pela corrosão do seu valor no tempo, à medida que se aproxima o vencimento.

O comportamento do Theta para uma opção de compra, dado pelo modelo de Black & Scholes. apresenta o time decay e é tanto mais acentuado quanto mais se aproxima o vencimento, e quanto mais próxima ao dinheiro estiver a opção. Observa-se também a sensibilidade elevada que apresenta o time decay nos momentos críticos que cercam o final da vida de uma opção, quando nos instantes próximos ao vencimento, trava-se uma batalha no mercado do ativo a vista entre comprados e vendidos no mercado de opções, pressionando o preço do ativo objeto em direção preço de exercício da opção mais próxima do dinheiro. Por isso, as opções costumam oscilar muito, quando próximas ao dinheiro, nesses últimos momentos críticos (Theta e o gama próximos ao máximo). De uma hora para outra a opção entra ou sai do dinheiro, e seu preço oscila brutalmente.

Rhô

O Rhô é a medida de sensibilidade do preço da opção as variações na taxa de juro sem risco da economia.

De uma forma geral verifica-se que o preço das opções é muito pouco sensível às mudanças nas taxas de juro, já que raramente são observadas alterações bruscas significativas no juro básico da economia. Pode-se verificar o comportamento do rhô para as opção de compra de um modelo Black & Scholes, em relação à passagem do tempo e ao movimento do preço do ativo objeto.

Observa-se que o efeito das taxas de juro é tanto mais sensível, quanta mais distante se está do vencimento da opção. Isso se deve ao fato de que um aumento na taxa de juro eleva significativamente o custo de oportunidade de se manter uma quantia imobilizada numa opção, em relação ao que poderia ser obtido numa aplicação sem risco. Verifica-se também que, seu efeito também é tanto maior quanta mais dentro-do-dinheiro estiver a opção sob consideração.

O rhô, normalmente é uma das medidas menos sensíveis e menos levadas em conta nos mercados de opções, exceto em alguns casos, como em opções sobre taxas de juro, onde passam a ter papel bastante significativo no controle de risco.

* A idéia de actual volatility aqui inserida é bastante distinta da de volatilidade como normalmente se entende. O termo volatilidade encontra-se fortemente associado ao conceito de desvio padrão como medida de risco, ou, em outros termos, da dispersão da distribuição dos retornos do ativo. A idéia de risco trazida pelo gama refere-se basicamente a concavidade apresentada pela função preço da opção. Nesse sentido Tompkins se refere a actual volatility, considerando os grandes saltos que possam ser observados no mercado, num único dia, trazendo efeitos maiores do que os previstos para o preço de uma opção, apesar das características de risco do ativo não se terem alterado.
** Medida de sensibilidade do preço da opção a mudanças no parâmetro de volatilidade do ativo, o que vermos logo a seguir.
*** O gama para as opção de venda é idêntico ao gama das opção de compra e, portanto, também é sempre positivo para posições compradas.
**** Operações delta-neutras são detalhadas no curso Avançado de Oções da InvestMax
***** Esse procedimento é detalhado no curso Avançado de Opções da InvestMax.
****** Isso é equivalente a um parâmetro de ajuste de escala. de tamanho do risco.

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Danilo Coscioni

Experiência de mais de 20 anos com mercado financeiro, especialista em Análise Técnica, Mercados Derivativos, Operações Estruturadas, Trading System, Back Testing, ciência de dados, criador de soluções para o mercado, como o Simulador de Opções e Fundador do Portal InvestMax

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